Question

已知：如图，⊙O中，直径AB=5，在它的不同侧有定点C和动点P，BC：CA=4：3，点P在

AB

上运动（点P不与A、B重合），CP交AB于点D，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1）当点P与点C关于AB对称时，求CD和CQ的长；
（2）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

Answer 1

分析：（1）如果点P与点C关于AB对称，根据垂径定理可得出CP⊥AB，在直角三角形ABC中，根据△ABC面积的不同表示方法可求出CD的长；
（2）如果CQ去最大值，那么PC也应该取最大值，因此当PC是圆O的直径时，CQ才取最大值．此时PC为5，可根据上面得出的PC、CQ的比例关系求出CQ的长．即可得出PC的值，进而可通过相似三角形△PQC和△ABC（∠A=∠P，一组直角）求出CQ的长．

解答：解：（l）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，（1分）
∵AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3，
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=

AC•BC

AB

=

12

5

，
∴PC=2CD=

24

5

．
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，
∴CQ=

4

3

PC=

32

5

；

（2）点P在弧AB上运动时，在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，
∴CQ=

PC•BC

AC

．
∴当PC取得最大值时，CQ的值最大，
而当PC为圆的直径时，PC的值最大，最大为5，此时CQ=

20

3

．

点评：本题属于常规的几何综合题，利用了直角三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正切的概念求解．解第2小问时要有动态的思想（在草稿上画画图）不难猜想出结论．