Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点；D为边上的动点.

（Ⅰ）如图1，将对折，使得点B的对应点落在对角线上，折痕为，求此刻点D的坐标；

（Ⅱ）如图2，将对折，使得点A的与点C重合，折痕交于点D，交于点E，求直线的解析式；

（Ⅲ）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，点P的坐标为，或

【解析】

（Ⅰ）根据题意由翻折可知：，并设，由勾股定理得：，即进行求解即可；

（Ⅱ）由题意设D点坐标为，由翻折可知：，，进而利用勾股定理与待定系数法即可求出直线的解析式；

（Ⅲ）根据题意将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．

解：（Ⅰ）∵在矩形中，点，点；

∴，；

在中，

由翻折可知：

∴，，

设，则

在中，，

由勾股定理得：，即

解得：.

∵点D在边上，

∴D点坐标为.

（Ⅱ）设D点坐标为

则，

由翻折可知：，，

在中，由勾股定理得：，即

解得：

∴

设直线的解析式为，

则，解得，

∴直线的解析式为.

（Ⅲ）存在点P（除点B外），使得与全等，理由如下：

①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0），

②当点P在第一象限时，如图作交AB 于H，

在Rt△ADP中，,

由得，有P的横轴坐标为：，

将代入的解析式，得到P的纵轴坐标为：，此时点P的坐标为；

③当点P在第一象限时，如图作交OC 于G，

同理可得：,

由勾股定理可得：解得，

即有，所以此时点P的坐标为；

综上符合条件的点P的坐标为，或.