题目内容
已知：如图，在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）由于点Q从点O运动到点C需要
秒，点P从点A→O→B需要
秒，所以分两种情况讨论：①0＜t＜
；②
≤t＜
，针对每一种情况，根据P点所在的位置，由三角形的面积公式得出△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并且得出自变量t的取值范围；
（2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果．
2
| ||
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
（2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果．
解答：
解：（1）过点C作CD⊥OA于点D（如图1）
∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=DA=1．
在Rt△ODC中，OC=
=
=
①当0＜t＜
时，OQ=t，AP=3t，OP=OA-AP=2-3t．
过点Q作QE⊥OA于点E．（如图1）
在Rt△OEQ中
∵∠AOC=30°，
∴QE=
OQ=
，
∴S△OPQ=
OP•EQ=
（2-3t）•
=-
t2+
t，
即S=-
t2+
t；
②当
＜t≤
时（如图2）
OQ=t，OP=3t-2．
∵∠BOA=60°，∠AOC=30°，
∴∠POQ=90°．
∴S△OPQ=
OQ•OP=
t•（3t-2）=
t2-t，
即S=
t2-t；
故当0＜t＜
时，S=-
t2+
t；
当
＜t≤
时，S=
t2-t；
（2）如图3，若点D在OA上时，OC=OD，则OD=OC=
，
D点的坐标为（
，0），
如图4，若OD=CD时，
∵∠COD=30°，cos∠COD=
，
∴cos30°=
，
∴OD=
=
=
，
∴D点的坐标为（
，0）；
如图5，当点D在BA上时，
若OD=CD，则点D在OC的垂直平分线上，设OC的垂直平分线DQ与x轴交于点P，
则∠APD=60°，OQ=CQ=
，
∵∠DAP=60°，
∴△ADP是等边三角形，
过点D作DM⊥PA于M，则PM=DM，
∵∠AOC=30°，
∴OP=
=
=
，
∴AP=2-
=
，
∴PM=
，
∴OM=
，DM=tan60°•PM=
，
∴D点的坐标为（
，
）；
如图6，当点D在OB上时，
若OD=OC，则OD=
，
过点D作DM⊥OA于M，则OM=
OD=
，DM=1，
则D点的坐标为（
，1）；
综上所述；符合条件的点D的坐标是（
，1）或（
，0）或（
，0）或（
，
）．
解：（1）过点C作CD⊥OA于点D（如图1）∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=DA=1．
在Rt△ODC中，OC=
| OD |
| cos30° |
| 1 |
| cos30° |
2
| ||
| 3 |
①当0＜t＜
| 2 |
| 3 |
过点Q作QE⊥OA于点E．（如图1）
在Rt△OEQ中
∵∠AOC=30°，
∴QE=
| 1 |
| 2 |
| t |
| 2 |
∴S△OPQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| t |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
即S=-
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
②当
| 2 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
OQ=t，OP=3t-2．
∵∠BOA=60°，∠AOC=30°，
∴∠POQ=90°．
∴S△OPQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
即S=
| 3 |
| 2 |
故当0＜t＜
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
当
| 2 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
| 2 |
（2）如图3，若点D在OA上时，OC=OD，则OD=OC=
| 2 |
| 3 |
| 3 |
D点的坐标为（
| 2 |
| 3 |
| 3 |
如图4，若OD=CD时，
∵∠COD=30°，cos∠COD=
| DQ |
| OD |
∴cos30°=
| OQ |
| OD |
∴OD=
| OQ |
| cos30° |
| ||||
|
| 2 |
| 3 |
∴D点的坐标为（
| 2 |
| 3 |
如图5，当点D在BA上时，
若OD=CD，则点D在OC的垂直平分线上，设OC的垂直平分线DQ与x轴交于点P，
则∠APD=60°，OQ=CQ=
| ||
| 3 |
∵∠DAP=60°，
∴△ADP是等边三角形，
过点D作DM⊥PA于M，则PM=DM，
∵∠AOC=30°，
∴OP=
| OQ |
| cos30° |
| ||||
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| 2 |
| 3 |
∴AP=2-
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴PM=
| 2 |
| 3 |
∴OM=| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∴D点的坐标为（
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
如图6，当点D在OB上时，
若OD=OC，则OD=
| 2 |
| 3 |
| 3 |
过点D作DM⊥OA于M，则OM=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
则D点的坐标为（
| ||
| 3 |
综上所述；符合条件的点D的坐标是（
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| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题综合考查了相似形的综合，用到的知识点是等腰三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论时，做到不重复，不遗漏．
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