Question

【题目】已知：如图,在Rt△ABO中,∠B=90°,∠OAB=30°,OA=3.以点O为原点,斜边OA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,以点P(4,0)为圆心,PA长为半径画圆,⊙P与x轴的另一交点为N,点M在⊙P上,且满足∠MPN=60°.⊙P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为ts，解答下列问题：

(1)运动过程中当点A在⊙P内时，t的取值范围是 ；

(2)当⊙P和△ABO的边相切时，求点P的坐标；

(3)当弧MN与Rt△ABO的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）0<t<2；（2）（1,0）（，0）；（3）2＜t≤3，4≤t＜5.

【解析】

（1）根据题意，当2<OP<4时，点A在⊙P内，从而求t的取值范围；

（2）分圆和直线AB和直线OB相切，利用三角函数即可得出结论；

（3）先找出和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论．

解：（1）∵OA=3，P(4,0)

∴OP=4，AP=1

又∵⊙P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动

∴当2<OP<4时，点A在⊙P内，设运动时间为ts，

∴OP=4-t

∴2<4-t<4

解得：0<t<2；

（2）①如图2，当⊙P与直线AB相切于点C时

连接PC，则有PC⊥AB，PC=r=1，

∵∠OAB=30°，

∴AP=2，

∴OP=OA-AP=3-2=1；

∴点P的坐标为（1，0）；

②如图3，当⊙P与直线OB相切于点D时，

连接PD，则有PD⊥OB，PD=r=1，

∴PD∥AB，

∴∠OPD=∠OAB=30°，

∴cos∠OPD= ，

∴OP= ，

∴点P的坐标为

综上所述，P点坐标为（1，0）；；

（3） t的取值范围是2＜t≤3，4≤t＜5，

理由：如图5，当点N运动到与点A重合时，

与Rt△ABO的边有一个公共点，

此时t=2；

当t＞2，直到⊙P运动到与AB相切时，

由探究①得，OP=1，

∴，

与Rt△ABO的边有两个公共点，

∴2＜t≤3．

如图6，当⊙P运动到PM与OB重合时，

与Rt△ABO的边有两个公共点，

此时t=4；

直到⊙P运动到点N与点O重合时，

与Rt△ABO的边有一个公共点，

此时t=5；

∴4≤t＜5，

即：t的取值范围是2＜t≤3，4≤t＜5，