Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°，
（1）求证：

PA

=

PB

；
（2）求证：AC-BC=

2

PC．

Answer 1

分析：（1）连结PA、PB，CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°得到∠ACP=45°，AB为⊙O的直径，则∠PAB=45°，根据圆周角定理得

PA

=

PB

；
（2）作PD⊥PC交AC于D点，则DC=

2

PC，再证明△PDA≌△PCB，得到AD=BC，所以AC-BC=AC-AD=DC=

2

PC．

解答：证明：（1）连结PA、PB，如图，
∵弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°，
∴∠ACP=45°，AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB=45°，
∴

PA

=

PB

；
（2）作PD⊥PC交AC于D点，如图，
则△PDC为等腰直角三角形，
∴DC=

2

PC，
∵

PA

=

PB

，
∴PA=PB，
∵∠PDC=45°，
∴∠PDA=135°，
而∠PCB=∠PCA+∠ACB=135°，
∴∠PDC=∠PCB，
∵∠PAD=∠PBC，
∴△PDA≌△PCB，
∴AD=BC，
∴AC-BC=AC-AD=DC=

2

PC．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的判定与性质．