Question

【题目】如图，在边长为2的正方形中，点、分别是边、上的两个动点（与点、、不重合），且始终保持，，交正方形外角平分线于点，交于点，连结．

（1）求证：；

（2）证明：；

（3）设，当为何值时，，并求出此时的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当时，；．

【解析】

（1）判断出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE，再求出AP=CQ，然后利用“角边角”证明即可；

（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ，判断出△AQE是等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转得，再证明；

（3）连结，设，推出是等腰直角三角形°，再证明，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF，，，分别用x表示出DF、CF、QF，然后列出方程求出x，再求出△AQF的面积．

（1）∵四边形是正方形，

∴，，

∵，

∴是等腰直角三角形，，

∴，

∴

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

∵．

∴．

∴．

（2）由（1）知．

∴．

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴．

∴，

如图4，将绕点顺时针旋转得，

其中点与点重合，且点在直线上，

则，，，

∴．

∴．

（3）连结，若，

则．

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

∵，，

∴．

∴，，

∴垂直平分，

∴，，

∴．

在中，根据勾股定理，得．

解这个方程，得， （舍去）．

当时，．

此时，，∴，

∴