Question

8．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，阿基米德的折弦定理是其推导出来的重要定理之一．
阿基米德折弦定理：如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是$\widehat{ABC}$的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是$\widehat{ABC}$的中点，
∴MA=MC．
…
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．

Answer 1

分析 首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案．

解答 解：如图，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是$\widehat{ABC}$的中点，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中$\left\{\begin{array}{l}{BA=GC}\\{∠A=∠C}\\{MA=MC}\end{array}\right.$，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．