Question

如图，直线y=

3

3

x与反比例函数y=

3

x

（x＞0）交于A点，B为x轴正半轴上一点，且OA=AB．
（1）求B点的坐标；
（2）C为y=

3

x

上的另一点，且∠OCB=120°．写出OC，BC，AC三线段之间的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）联立方程即可求得交点坐标A，然后根据等腰三角形的性质即可求得B的坐标；
（2）作∠CAD=120°，交BC的延长线于点D，由直线的斜率求得∠AOB=30°，进而求得∠OAB=120°，然后求得△AOC≌△ABD，得出OC=BD=BC+CD，AC=AD，根据等腰三角形，通过解直角三角形求得CD=

3

AC，即可求得OC=BC+

3

AC．

解答：解：（1）∵直线y=

3

3

x与反比例函数y=

3

x

（x＞0）交于A点，
∴A点的坐标（

3

，1），
∵OA=AB．
∴B（2

3

，0）．
（2）OC=BC+

3

AC，理由如下：
作∠CAD=120°，交BC的延长线于点D，
由直线y=

3

3

x可知∠AOB=30°，
∵OA=AB，
∴∠ABO=30°，
∴∠OAB=120°，
∴∠OAC=120°+∠BAC=∠BAD，
∴∠ABC+∠ABO+∠BOC=180°-∠OCB=60°，
∴∠ABC+∠BOC=60°-∠ABO=30°，
∵∠AOC+∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠ABC=∠ABD，
在△AOC和△ABD中

∠AOC=∠ABD OA=AB ∠OAC=∠BAD

∴△AOC≌△ABD（ASA），
∴OC=BD=BC+CD，AC=AD，
∵∠CAD=120°，
∴CD=

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AC，
∴OC=BC+

3

AC．

点评：本题考查了反比例函数和一次函数的交点，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键．