题目内容
已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°．将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF．（1）如图（1），求证：△AGD≌△AEB；
（2）当α=60°时，在图（2）中画出图形并求出线段CF的长；
（3）若∠CEF=90°，在图（3）中画出图形并求出△CEF的面积．
【答案】分析：（1）利用AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB（SAS）证明△AGD≌△AEB即可；
（2）当α=60°时，AE与AD重合，作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，在Rt△CDH中，CH=DCsin60°，继而求出CF的长；
（3）当∠CEF=90°时，延长CE交AG于M，连接AC，∠CEF=90°，只需求出EC的长，又EC=MC-ME，在Rt△AME和Rt△AMC中求解MC和ME的长即可．
解答：解：（1）∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG，
∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α．
∵四边形AEFG是菱形，
∴AD=AB．
∴AG=AE．
∴△AGD≌△AEB．（3分）
（2）解法一：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，（4分）
作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5．
∴∠CDH=
∠CDF=60°，CH=
CF．
在Rt△CDH中，
∵CH=DCsin60°=5×
=
，（6分）
∴CF=2CH=5
．（7分）
解法二：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，（4分）
连接AF、AC、BD、AC与BD交于点O．
由题意，知AF=AC，∠FAC=60°．
∴△AFC是等边三角形．
∴FC=AC．
由已知，∠DAO=
∠BAD=30°，AC⊥BD，
∴AO=ADcos30°=
．（6分）
∴AC=2AO=5
．
∴FC=AC=5
．（7分）
（3）如图（2），当∠CEF=90°时，（8分）
延长CE交AG于M，连接AC．
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG．
∵∠CEF=90°，
∴∠GME=90°．
∴∠AME=90°．（9分）
在Rt△AME中，AE=5，∠MAE=60°，
∴AM=AEcos60°=
，EM=AEsin60°=
．
在Rt△AMC中，易求AC=5
，
∴MC=
=
．
∴EC=MC-ME=
-
，
=
（
-
）．（11分）
∴S△CEF=
•EC•EF=
．（12分）
点评：本题考查菱形的性质，同时涉及了锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质及三角形面积公式，注意这些知识的熟练掌握并灵活运用，难度较大．
（2）当α=60°时，AE与AD重合，作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，在Rt△CDH中，CH=DCsin60°，继而求出CF的长；
（3）当∠CEF=90°时，延长CE交AG于M，连接AC，∠CEF=90°，只需求出EC的长，又EC=MC-ME，在Rt△AME和Rt△AMC中求解MC和ME的长即可．
解答：解：（1）∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG，
∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α．
∵四边形AEFG是菱形，
∴AD=AB．
∴AG=AE．
∴△AGD≌△AEB．（3分）
（2）解法一：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，（4分）
作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5．
∴∠CDH=
∠CDF=60°，CH=CF．在Rt△CDH中，
∵CH=DCsin60°=5×
=，（6分）∴CF=2CH=5
．（7分）解法二：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，（4分）
连接AF、AC、BD、AC与BD交于点O．
由题意，知AF=AC，∠FAC=60°．
∴△AFC是等边三角形．
∴FC=AC．
由已知，∠DAO=
∠BAD=30°，AC⊥BD，∴AO=ADcos30°=
．（6分）∴AC=2AO=5
．∴FC=AC=5
．（7分）（3）如图（2），当∠CEF=90°时，（8分）
延长CE交AG于M，连接AC．
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG．
∵∠CEF=90°，
∴∠GME=90°．
∴∠AME=90°．（9分）
在Rt△AME中，AE=5，∠MAE=60°，
∴AM=AEcos60°=
，EM=AEsin60°=．在Rt△AMC中，易求AC=5
，∴MC=
=．∴EC=MC-ME=
-，=
（-）．（11分）∴S△CEF=
•EC•EF=．（12分）点评：本题考查菱形的性质，同时涉及了锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质及三角形面积公式，注意这些知识的熟练掌握并灵活运用，难度较大．
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