Question

（2011•盘锦）已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°．将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF．
（1）如图（1），求证：△AGD≌△AEB；
（2）当α=60°时，在图（2）中画出图形并求出线段CF的长；
（3）若∠CEF=90°，在图（3）中画出图形并求出△CEF的面积．

Answer 1

分析：（1）利用AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB（SAS）证明△AGD≌△AEB即可；
（2）当α=60°时，AE与AD重合，作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，在Rt△CDH中，CH=DCsin60°，继而求出CF的长；
（3）当∠CEF=90°时，延长CE交AG于M，连接AC，∠CEF=90°，只需求出EC的长，又EC=MC-ME，在Rt△AME和Rt△AMC中求解MC和ME的长即可．

解答：解：（1）∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG，
∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α．
∵四边形AEFG是菱形，
∴AD=AB．
∴AG=AE．
∴△AGD≌△AEB．（3分）

（2）解法一：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，（4分）

作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5．
∴∠CDH=

1

2

∠CDF=60°，CH=

1

2

CF．
在Rt△CDH中，
∵CH=DCsin60°=5×

3

2

=

5 3

2

，（6分）
∴CF=2CH=5

3

．（7分）
解法二：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，（4分）
连接AF、AC、BD、AC与BD交于点O．
由题意，知AF=AC，∠FAC=60°．
∴△AFC是等边三角形．
∴FC=AC．
由已知，∠DAO=

1

2

∠BAD=30°，AC⊥BD，
∴AO=ADcos30°=

5 3

2

．（6分）
∴AC=2AO=5

3

．
∴FC=AC=5

3

．（7分）

（3）如图（2），当∠CEF=90°时，（8分）
延长CE交AG于M，连接AC．
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG．
∵∠CEF=90°，
∴∠GME=90°．
∴∠AME=90°．（9分）
在Rt△AME中，AE=5，∠MAE=60°，
∴AM=AEcos60°=

5

2

，EM=AEsin60°=

5 3

2

．
在Rt△AMC中，易求AC=5

3

，
∴MC=

AC2-AM2

=

5 11

2

．
∴EC=MC-ME=

5 11

2

-

5 3

2

，
=

5

2

（

11

-

3

）．（11分）
∴S_△CEF=

1

2

•EC•EF=

25( 11 - 3 )

4

．（12分）

点评：本题考查菱形的性质，同时涉及了锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质及三角形面积公式，注意这些知识的熟练掌握并灵活运用，难度较大．