Question

如图（1），直线y=kx-k²（k为常数，且k＞0）与y轴交于点C，与抛物线y=ax²有唯一公共点B，点B在x轴上的正投影为点E，已知点D（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在实数k，使经过D，O，E三点的圆与抛物线的交点恰好为B？若存在，请求出时k的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），连接CE，已知点F（0，1），直线FA与CE相交于点M，不论k取何值，在①∠EAM=∠ECA，②∠EAM=∠ACF两个等式中有一个恒成立．请判断哪一个恒成立，并证明这个成立的结论．

Answer 1

分析：（1）由题意得，kx-k²=ax²，即ax²-kx+k²=0有两个相等的实数根，而k＞0，根据判别式，解答即可；
（2）由

y=kx-k2 y= 1 4 x2

，得点B的坐标为（2k，k²），连接OB、DE，则OB、DE均为过点D、0、E三点的圆的直径，所以，Rt△ODE≌Rt△EBO（HL），得到BE=DO=4，即可得出k值；
（3）对y=kx-k²，令x=0，y=0，可得出C（0，-k²），A（k，0），又AF=1，则OA²=OF•OC，可得到△AFO∽△CAO，所以∠FAO=∠ACF，而∠FAO=∠EAM，即可解答．

解答：解：（1）∵直线y=kx-k²与抛物线y=ax²有唯一公共点B，
∴kx-k²=ax²，即ax²-kx+k²=0有两个相等的实数根，
∴（-k）²-4ak²=0，而k＞0，
∴a=

1

4

，
∴y=

1

4

x²；

（2）存在实数k，使得经过D、O、E三点的圆与抛物线的交点刚好为点B，
∵

y=kx-k2 y= 1 4 x2

的解为

x=2k y=k2

，
∴点B的坐标为（2k，k²），
又∵点B在x轴上的正投影为点E，连接BE，
则BE⊥x轴于E，
∴E（2k，0），
∴DE⊥OB，DF=EF=OF，
连接OB、DE，则OB、DE均为过点D、0、E三点的圆的直径，
∴Rt△ODE≌Rt△EBO（HL），
∴BE=DO，
∵D（0，4），
∴k²=4，
∴k=2（k＞0）；

（3）结论②∠EAM=∠ACF成立，
对y=kx-k²，令y=0，得x=k，
∴A（k，0），
∴OA=k，
令x=0，得y=-k²，
∴C（0，-k²），
∴OC=k²，
又∵F（0，1），
∴OF=1，
∴OA²=OF•OC，
∴

OA

OF

=

OC

OA

，
又∵∠FOA=∠AOC=90°，
∴△AFO∽△CAO，
∴∠FAO=∠ACF，而∠FAO=∠EAM，
∴∠EAM=∠ACF．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识有利用二次函数的性质求公共点的坐标、相似三角形的判定和圆的性质，注意分析清楚题意，是解答的关键．