Question

1．如图，直线y=k₁x+b与双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$相交于A（1，3）、B（m，-1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）观察图象，请直接写出不等式y=k₁x+b＞$\frac{{k}_{2}}{x}$的解集；
（3）点C为x轴正半轴上一点，连接AO、AC，且AO=AC，求S_△AOC．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$即可求得双曲线的解析式，把B（m，-1）代入即可求得m，然后把A、B代入y=k₁x+b，根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）根据图象和A、B的坐标即可得出不等式y=k₁x+b＞$\frac{{k}_{2}}{x}$的解集；
（3）根据等腰三角形的性质和S_△AOD=$\frac{1}{2}$|k|，即可求得．

解答 解：（1）∵双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$相经过点A（1，3），
∴双曲线的解析式为：y=$\frac{3}{x}$．
∵点B（m，-1）在双曲线y=$\frac{3}{x}$  上，
∴m=-3，则B点坐标为（-3，-1）．
由点A（1，3），B（-3，-1）在直线y=k₁x+b上，
得，$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+b=3}\\{-3{k}_{1}+b=-1}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=1}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直线的解析式为：y=x+2．
（2）由图可知，-3＜x＜0或x＞1；
（3）过点A作AD⊥OC于点D，
∵AO=AC，
∴OD=DC，
∵点A在双曲线y=$\frac{3}{x}$图象上，
∴$\frac{1}{2}$OD•AD=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$CD•AD=$\frac{3}{2}$，
∴S_△AOC=3．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，不等式的解集问题，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．