Question

【题目】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，直线与抛物线交于点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是线段上的一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交轴于点，交抛物线于点，若，线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由；

（3）若轴上存在一点，使得时，求出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，有最大值为；（3）点的坐标为或．

【解析】

（1）确定抛物线解析式，关键是要确定抛物线经过的两点坐标，点是抛物线与轴的交点，且位于轴上，因此易求出点的坐标，再根据，可求出点，的坐标，然后再将坐标代入两点式即可得解；

（2）求出抛物线解析式后，利用，先求出点的横坐标，代入抛物线求出点的纵坐标，然后求出直线的解析式，最后再利用两函数解析式的纵坐标之差表示线段长，进而在取值范围内求最值即可；

（3）根据（2）中的直线解析式易知，由可知，则直线上下两侧产生和的角，再利用锐角三角函数求出线段长，然后通过线段长转化为坐标即可．

解：（1）∵抛物线的解析式为，当时，，

∴．

∵，

∴点，点．

设抛物线的解析式为，可得，

将点代入可得，

∴抛物线解析式为；

（2）存在最大值．

如解图①，过点作轴于点，则，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴点．

当时，，

∴点．

设直线BE的解析式为

将点、代入解析式中得，

，解得．

∴直线的解析式为．

设点的坐标为，

则点的坐标为，

∴

∴当时，有最大值，最大值为；

（3）分两种情况：①如解图①，当直线在直线的上方时，

∵点的坐标为，

∴．

在直线中，当时，，

∴，

∴，

∴．

∴，

∴，

∴，

∴，

∴点的坐标为；

②如解图②，当直线在的下方时，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴点的坐标为．

综上所述，点的坐标为或．