题目内容
已知抛物线y=kx2-2kx+9-k（k为常数，k≠0），且当x＞0时，y＞1．（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）求k的取值范围；
（3）过动点P（0，n）作直线l⊥y轴，点O为坐标原点．
①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于k的函数关系式；
②当直线l与抛物线相交于A、B两点时，是否存在实数n，使得不论k在其取值范围内取任意值时，△AOB的面积为定值？如果存在，求出n的值；如果不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）由顶点坐标公式（
，
）可得答案；
（2）依题意可得
，解之可得k的取值范围；
（3）①当直线l与抛物线只有一个公共点时，有直线过顶点，可得n关于k的函数关系式，进而可作出判断；
②当直线l与抛物线相交于A、B两点时，正方程式可得其对于任意的k值，方程式恒成立，故抛物线的图象过定点，因此△AOB的面积为定值．
解答：解：（1）∵
，
，（2分）
∴抛物线的顶点坐标为（1，-2k+9）．（3分）
（2）依题意可得
，（5分）
解得0＜k＜4．即k的取值范围是0＜k＜4．（6分）
（3）①当直线l与抛物线只有一个公共点时，即直线l过抛物线的顶点，
由（1）得n关于k的函数关系式为n=-2k+9（0＜k＜4）．（7分）
②结论：存在实数n，使得△AOB的面积为定值．（8分）
理由：n=kx2-2kx+9-k，整理，得（x2-2x-1）k+（9-n）=0．
∵对于任意的k值，上式恒成立，
∴
，
解得
，（9分）
∴当n=9时，对k在其取值范围内的任意值，抛物线的图象都通过点
和点
，
即△AOB的底
，高为9，
因此△AOB的面积为定值
．（10分）
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．
，
）可得答案；（2）依题意可得
，解之可得k的取值范围；（3）①当直线l与抛物线只有一个公共点时，有直线过顶点，可得n关于k的函数关系式，进而可作出判断；
②当直线l与抛物线相交于A、B两点时，正方程式可得其对于任意的k值，方程式恒成立，故抛物线的图象过定点，因此△AOB的面积为定值．
解答：解：（1）∵
，
，（2分）∴抛物线的顶点坐标为（1，-2k+9）．（3分）
（2）依题意可得
，（5分）解得0＜k＜4．即k的取值范围是0＜k＜4．（6分）
（3）①当直线l与抛物线只有一个公共点时，即直线l过抛物线的顶点，
由（1）得n关于k的函数关系式为n=-2k+9（0＜k＜4）．（7分）
②结论：存在实数n，使得△AOB的面积为定值．（8分）
理由：n=kx2-2kx+9-k，整理，得（x2-2x-1）k+（9-n）=0．
∵对于任意的k值，上式恒成立，
∴
，解得
，（9分）∴当n=9时，对k在其取值范围内的任意值，抛物线的图象都通过点
和点
，即△AOB的底
，高为9，因此△AOB的面积为定值
．（10分）点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线y=kx2（k＞0）与直线y=ax+b（a≠0）有两个公共点，它们的横坐标分别为x1、x2，又有直线y=ax+b与x轴的交点坐标为（x3，0），则x1、x2、x3满足的关系式是（ ）
| A、x1+x2=x3 | ||||||
B、
| ||||||
C、x3=
| ||||||
| D、x1x2+x2x3=x1x3 |
已知抛物线y=kx2+2kx-3k，交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且y有最大值4．