Question

如图，直线y=

3

4k

x+3（k＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是线段AB的中点，抛物线y=-

8

3

x2+bx+c经过点A、P、O（原点）．
（1）求过A、P、O的抛物线解析式；
（2）在（1）中所得到的抛物线上，是否存在一点Q，使∠QAO=45°？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线AB的解析式，可求得B点坐标，而P为线段AB的中点，那么点P的纵坐标为B点纵坐标的一半，由于抛物线经过原点，那么c=0，根据公式法表示出P点纵坐标，即可求得b的值，由此确定该抛物线的解析式．
（2）此题应分两种情况讨论：
①当Q点在x轴上方时，由于∠OAQ=45°，那么直线AQ的斜率为k=1，而A点坐标易求得，即可得到直线AQ的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得Q点坐标；
②当Q点在x轴下方时，方法同①．

解答：解：（1）由于抛物线经过原点，
所以c=0；
∵直线y=

3

4k

x+3（k＞0）与y轴交于B点，
∴B（0，3）；
∵点A在x轴上，
∴点A的纵坐标为0，
∵P是线段AB的中点，故P点纵坐标=

0+3

2

=

3

2

，
∴

-b2

4×(- 8 3 )

=

3

2

，
解得b=-4（正值舍去）；
故抛物线的解析式为：y=-

8

3

x²-4x．

（2）由（1）的抛物线解析式，易求得A（-

3

2

，0）；
①当Q在x轴上方时，由于∠OAQ=45°，
所以设直线AQ的解析式为：y=x+h，则有：
-

3

2

+h=0，h=

3

2

；
∴直线AQ：y=x+

3

2

；
联立抛物线的解析式有：

y=x+ 3 2 y=- 8 3 x2-4x

，
解得

x=- 3 2 y=0

，

x=- 3 8 y= 9 8

；
故Q（-

3

8

，

9

8

）；
②当Q在x轴下方时，同①可求得Q（

3

8

，-

15

8

）．
综上可知：存在符合条件的Q点，且坐标为：Q（-

3

8

，

9

8

）或（

3

8

，-

15

8

）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及函数图象交点坐标的求法，难度适中．