Question

如图，己知双曲线y＝(x>0)与经过点A(1，0)、B(0，1)的直线交于P、Q两点，连结OP、OQ．

(1)求△OPQ的面积．

(2)试说明：△OAQ≌△OBP

(3)若C是OA上不与O、A重合的任意一点，CA＝a(0<a<1)，CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．

①a为何值时，CE＝AC?

②线段OA上是否存在点C，使CE∥AB?若存在这样的点，请求出点C的坐标：若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵A（1,0）B（0,1）

∴OB=OA，∠OBA=∠OAB，直线AB的解析式为y=-x+1

∵双曲线（x＞0）与经过点A，B的直线交于P、Q两点

∴ 

∵

∴

 (2) 由（1）得

∵A（1,0）B（0,1）

∴PB=AQ

∵OB=OA，∠OBA=∠OAB

∴△OAQ≌△OBP

（3）①解：作DF⊥AO

易得OEFD为矩形

等腰直角三角形ACD中，

∴

在直角三角形EOC中，

若CE=AC，则

∴

解之得或

∵0<a<1

∴

②若CE∥AB，则有∠ECO=∠OEC=∠B=∠A=45°

∴OE=OC=1-a

作DF⊥AO

易得OEFD为矩形

等腰直角三角形ACD中，

∴

∴

解之得

∴

【解析】（1）直接求三角形的面积较繁，此题用补的方法求较容易，把△OPQ补成△AOB

减去△BOP和△AOQ的面积即可

（2）利用点的坐标，求出线段长，找出三角形全等的条件

（3）作辅助线，结合勾股定理，用a的代数式表示CE，根据CE＝AC，列出a的方程即可；根据CE∥AB，等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，列出a的方程即可