题目内容

如图，点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1，A_n为x轴的正半轴上的点，OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，分别以A₁，A₂，A₃，…，A_n-1，A_n为直角顶点作Rt△OA₁B₁，Rt△A₁A₂B₂，Rt△A₂A₃B₃，…，Rt△A_n-1A_nB_n，它们的面积分别记为S₁，S₂，S₃，…，S_n，且S₁=1；双曲线恰好经过点B₁，B₂，B₃，…，B_n．
（1）求双曲线和直线A₁B₂对应的函数解析式；
（2）填空：S₁₀=______，S_n=______；
（3）若直线B₁O交双曲线于点P，在这系列直线：A₁B₂，A₂B₃，…，A_n-1B_n中存在经过点P的直线吗？若存在，直接找出来．

解：（1）由于A₁（1，0）S₁= $\text{[math]}$
∴A₁B₁=2
即：B₁（1，2）
①设双曲线为： $\text{[math]}$ ，代入B₁（1，2）得：k₁=2
∴ $\text{[math]}$

②∵A₂坐标为（2，0）
∴B₂横坐标为2，代入双曲线解析式得B₂坐标为：（2，1）
设直线A₁B₂解析式为：y=k₂x+b
代入A₁（1，0）和B₂（2，1）得
$\text{[math]}$ 解得： $\text{[math]}$
∴直线A₁B₂对应的函数解析式为y=x-1；

（2）由于A_n坐标为（n，0）即B_n横坐为n
将B_n横坐标代入双曲线解析式中得
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$

（3）OB₁直线方程为y=2x
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
∴P点坐标为：（-1，-2）
由A_n-1（n-1，0），B_n（n， $\text{[math]}$ ）可得直线A_n-1B_n对应的函数解析式为：
$\text{[math]}$
即： $\text{[math]}$
恒过点（-1，-2），
∴直线A₁B₂，A₂B₃，A_n-1B_n都经过点P（-1，-2）．
分析：（1）若要求双曲线解析式，只需求出双曲线上的一个点有坐标即可，由题意，可从B点入手；
（2）在第n个三角形中，A_n点坐标为（n，0）．B_n横坐标为n，代入（1）中求得的解析式可得出B_n点坐标，从而求出AB_n代Rt△A_n-1A_nB_n面积公式 $\text{[math]}$ 求出第n个三角形的面积表达式，再代入n的值即可求得所要求得的三角形的面积．
（3）求出P点坐标，再解出直线A_n-1B_n的通式，代入P点坐标验算．
点评：此题考查了双曲线与直线的运用，将直线与双曲线解析式联立可求出交点坐标．解题时找出规律求出通式寻找合理的解题方法将是解决此题的关键．