Question

【题目】如图1，已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点和点，点在点的右侧，点的坐标为，将线段沿轴的正方向平移个单位后得到线段．

（1）当______时，点或点正好移动到抛物线上；

（2）当点正好移动到抛物线上，与相交于点时，求点坐标；

（3）如图2，若点是轴上方抛物线上一动点，过点作平行于轴的直线交于点，探索是否存在点，使线段长度有最大值？若存在，直接写出点的坐标和长度的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1或2或5；（2）点；（3）存在点，使线段长度有最大值为5．

【解析】

（1）分点E与点B重合，点E与点C重合，点F在抛物线上三种情况讨论，可求n的值；

（2）由题意可求直线EF解析式，直线CD解析式，即可求点G坐标；

（3）由题意可求直线AC解析式，设点P（t，-t2+t-4），则点M（t，t-4），则可用t表示PM的长度，根据二次函数的性质可求点P的坐标．

解：（1）∵抛物线与x轴相交于B和点C

∴

解得：x1=1，x2=5

∴点B（1，0），点C（5，0）

当点E与点B重合，则n=1，

当点E与点C重合，则n=5

当点F在抛物线上，则

解得：x1=0（不合题意舍去），x2=6

∴F（6，-4）

∴n=6-4=2
故答案为：1或2或5；

（2）∵点正好移动到抛物线上

∴

∴点坐标为

设直线解析式为，把点，点代入解析式得

，解得

∴直线解析式为：

设直线CD解析式为，把点，点代入解析式得

，解得

∴直线解析式

∵与相交于点，设点

，解得：

∴点，

（3）∵抛物线与轴相交于点，

∴当时，

∴点

∵点，点

∴直线解析式：，

设点，则点，

∴，

∴当时，的最大值为5

∴点坐标为，

∴存在点，使线段长度有最大值为5．