Question

【题目】如图，抛物线经过点，交y 轴于点C：

（1）求抛物线的顶点坐标．

（2）点为抛物线上一点，是否存在点使，若存在请直接给出点坐标；若不存在请说明理由．

（3）将直线绕点顺时针旋转，与抛物线交于另一点，求直线的解析式．

Answer 1

【答案】（1），顶点坐标为（）；（2）；（3）

【解析】

（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
（3）由勾股定理的逆定理可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用相似三角形的性质可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式．

（1）由题意得

解得：

∴

∴ 顶点坐标为（）

（2）存在，

由题意可知C（0，2），A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，OC=2，
∴S△ABC=ABOC=×5×2=5，
∵S△ABC=S△ABD，
∴S△ABD=×5=，
设D（x，y），
∴AB|y|=×5|y|=，解得|y|=3，
当y=3时，由-x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y=-3时，由-x2+x+2=-3，解得x=-2或x=5，此时D点坐标为（-2，-3）或（5，-3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（-2，-3）或（5，-3）；

（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC= ，BC=

∴AC2+BC2=25=AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC．
设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，如图所示．

由题意可知∠FBC=45°，
∴∠CFB=45°，
∴CF=BC=2

∵OC∥MF，
∴△AOC∽△AMF，
∴

∴AM=3AO=3，MF=3OC=6，
∴点F（2，6）．
设直线BE的解析式为y=kx+m（k≠0），
则 ，解得： ，
∴直线BE的解析式为y=-3x+12．