题目内容
【题目】如图，抛物线
与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）
，D（2，8）；（2）F（﹣1，
）或（﹣3，
）；（3）Q（2，
）或（2，
）．
【解析】（1）将点B（6，0）、C（0，6）代入
中，得：
，解得：
，∴抛物线的解析式为．
∵=
，∴点D的坐标为（2，8）．
（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），如图1所示．
∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，∴△F′BO∽△BDE，∴
．
∵点B（6，0），点D（2，8），∴点E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，∴OF′=
OB=3，∴点F′（0，3）或（0，﹣3）．
设直线BF的解析式为y=kx±3，则有0=6k+3或0=6k﹣3，解得：k=﹣
或k=，∴直线BF的解析式为
或
．联立直线BF与抛物线的解析式得：
①或
②，解方程组①得：
或
（舍去），∴点F的坐标为（﹣1，）；
解方程组②得：
或（舍去），span>∴点F的坐标为（﹣3，
）．
综上可知：点F的坐标为（﹣1，）或（﹣3，）．
（3）设对角线MN、PQ交于点O′，如图2所示．
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上，设点Q的坐标为（2，2n），则点M的坐标为（2﹣n，n）．
∵点M在抛物线的图象上，∴
，即
，解得：
=，
=，∴点Q的坐标为（2，）或（2，）．
