Question

已知：等边△ABC的边长为6厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上从点A出发，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为x秒．
（1）请写出线段MN从出发到终止所需要的时间t；
（2）线段MN在运动的过程中，x为何值时，四边形MNQP恰为矩形？
（3）线段MN在运动的过程中，设四边形MNQP的面积为S，运动的时间为x．求四边形MNQP的面积S随运动时间x变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据等边△ABC的边长为6厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上从点A出发，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动可知，线段MN移动的距离=6-1=5cm，由此即可得出t的值；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D．当PQ∥AB时即可得出四边形MNQP是矩形时x的值；
（3）根据①当0＜x＜2时；②当2≤x≤3时；③当3＜x＜5时，分别求出四边形MNQP的面积，即四边形MNQP的面积S随运动时间x变化的函数关系式．

解答：解：（1）∵等边△ABC的边长为6厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上从点A出发，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动，
∴线段MN移动的距离=6-1=5cm，
∴t=

5

1

=5（秒）；

（2）如图1所示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AD=3，
∵当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即当AM=3-

1

2

=

5

2

时，四边形MNQP是矩形，
∴x=

5

2

秒时，四边形MNQP是矩形；

（3）①如图2所示，当0＜x≤2时，点P、Q都在AC上，并且四边形PMNQ为直角梯形，
在Rt△AMP中，
∵∠A=60°，AM=x，tan∠A=

PM

AM

，
∴PM=tan60°×AM=

3

AM=

3

x，
在Rt△ANQ中，
∵AN=AM+MN=x+1，
∴QN=

3

AN=

3

（x+1），
∴S_{四边形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

x+

3

（x+1）]=

3

x+

3

2

；
②如图3所示：
当2≤x≤3时，点P在AC上，点Q在BC上，
∵PM=

3

t，BN=AB-AM-MN=6-x-1=5-x，
在Rt△BNQ中，
∵QN=

3

BN=

3

（5-x），
∴S_{四边形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

x+

3

（5-x）]×1=

5 3

2

；
③当3≤x＜5时，点P、Q都在BC上，
∵BM=6-x，BN=5-x，
∴PM=

3

BM=

3

（6-x），QN=

3

BN=

3

（5-x），
∴S_{四边形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

（6-x）+

3

（5-x）]=

11

2

3

-

3

x．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到动点问题，比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，由数形结合便可解答，体现了数形结合在解题中的重要作用．