Question

（2012•相城区一模）直线y=-2x+5分别与x轴，y轴交于点C、D，与反比例函数y=

3

x

的图象交于点A、B．过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，连接EF，下列结论：①AD=BC；②EF∥AB；③四边形AEFC是平行四边形；④S_△AOD=S_△BOC．其中正确的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①先把反比例函数、一次函数解析式联合组成方程组，解可求A、B坐标，根据y=-2x+5可求C、D的坐标，而AE⊥y轴，BF⊥x轴，结合A、B、C、D的坐标，可知AE=1，DE=OD-OE=5-3=2，在Rt△ADE中利用勾股定理可求AD=

5

，同理可求BC=

5

，于是AD=BC，①正确；
②根据A、B、C、D的坐标，易求OF：OE=1：2，OC：OD=1：2，即OF：OE=OC：OD，斜率相等的两直线平行，那么EF∥AB，故②正确；
③由于AE=CF=1，且AE∥CF，根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，可知四边形AEFC是平行四边形，故③正确；
④根据面积公式可分别求S_△AOD，S_△BOC，可知两个面积相等，故④正确．

解答：解：如右图所示，
①∵y=-2x+5与y=

3

x

相交，
∴

y=-2x+5 y= 3 x

，
解得

x=1 y=3

或

x= 3 2 y=2

，
∴A点坐标是（1，3），B点坐标是（

3

2

，2），
∵直线y=-2x+5与x轴和y轴的交点分别是（

5

2

，0）、（0，5），
∴C点坐标是（

5

2

，0），D点坐标是（0，5），
∵AE⊥y轴，BF⊥x轴，
∴AE=1，DE=OD-OE=5-3=2，
在Rt△ADE中，AD=

12+22

=

5

，
同理可求BC=

5

，
故AD=BC，
故①选项正确；
②∵OF：OE=1：2，OC：OD=1：2，
∴EF∥AB，
故②选项正确；
③∵AE=CF=1，且AE∥CF，
∴四边形AEFC是平行四边形，
故③选项正确；
④∵S_△AOD=

1

2

•OD•AE=

1

2

×5×1=2.5，
S_△BOC=

1

2

•OC•BF=

1

2

×

5

2

×2=2.5，
∴S_△AOD=S_△BOC，
故④选项正确．
故选D．

点评：本题考查了反比例函数、一次函数的性质、三角形面积公式、勾股定理、平行四边形的判定，解题的关键是熟练点与函数的关系，能根据函数解析式求出所需要的点．