题目内容
阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并求出所画等腰直角三角形ABC的面积．
小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l1任取一点A，作AD⊥l2于点D，作∠DAH=90°，在AH上截取AE=AD，过点E作EB⊥AE交l3于点B，连接AB，作∠BAC=90°，交直线l2于点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC．
请你回答：图2中等腰直角三角形ABC的面积等于 ．
参考小雨同学的方法，解决下列问题：
如图3，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是2，l2与l3之间的距离是1，试画出一个等边三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕迹）．
小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l1任取一点A，作AD⊥l2于点D，作∠DAH=90°，在AH上截取AE=AD，过点E作EB⊥AE交l3于点B，连接AB，作∠BAC=90°，交直线l2于点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC．
请你回答：图2中等腰直角三角形ABC的面积等于
参考小雨同学的方法，解决下列问题：
如图3，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是2，l2与l3之间的距离是1，试画出一个等边三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕迹）．
考点：全等三角形的判定与性质,平行线之间的距离,等边三角形的性质,等腰直角三角形
专题：
分析：过点B作BE⊥11于E，过点A作AD⊥l2于D，根据等角的余角相等求出∠ABE=∠ACD，然后利用“角角边”证明△ACD和△ABE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AD，再利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据勾股定理求得直角边，从而求得△ABC的面积．
如图3先作等边△ADE，延长DE交l3于B点，在l1上截取EC=BD，连AC、BC，则△ABC即为所求．
如图3先作等边△ADE，延长DE交l3于B点，在l1上截取EC=BD，连AC、BC，则△ABC即为所求．
解答：
解：如图2，过点A作AD⊥l2于D，过点B作BE⊥l1于E，
则∠EAB+∠ABE=90°，
∵AC⊥BA，
∴∠1+∠EAB=90°，
∵I1∥I2，
∴∠1=∠ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（AAS），
∴AB=AC，
∵l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，
∴AE=1，BE=2+1=3，
在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=12+32=10，
∵AC⊥BA，AC=BA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴S△ABC=
AB×AC=
AB2=
×10=5．
等边三角形ABC的面积S=
．
解：如图2，过点A作AD⊥l2于D，过点B作BE⊥l1于E，
则∠EAB+∠ABE=90°，
∵AC⊥BA，
∴∠1+∠EAB=90°，
∵I1∥I2，
∴∠1=∠ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵在△ACD和△ABE中，
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∴△ACD≌△ABE（AAS），
∴AB=AC，
∵l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，
∴AE=1，BE=2+1=3，
在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=12+32=10，
∵AC⊥BA，AC=BA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴S△ABC=
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等边三角形ABC的面积S=
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点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，等腰三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
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