Question

【题目】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，），AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，连接BC．点D是线段AC的中点，点E的坐标为（0，），点F是线段EO上的一个动点．过点A，D，F的抛物线与x轴正半轴交于点G，连接DG交线段AB于点M．

(1)求∠ACB的度数；

(2)当点F运动到原点时，求过A，D，F三点的抛物线的函数表达式及点G的坐标；

(3)以线段DM为一边作等边三角形DMP，点P与点A在直线DG同侧，当点F从点E运动到点O时，请直接写出点P运动的路径的长．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）先确定出AB，AC，再判断出∠BAC＝90°，最后用锐角三角函数即可得出结论；

（2）先确定出点C的坐标，进而确定出点D的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；

（3）先判断出点F从点E运动到点O时，点M的运动轨迹是MM'，进而判断出点P的运动轨迹，再判断出△MDM'≌△PDP'，求出直线BG的解析式，进而求出点M的坐标，即可得出结论．

解：（1）∵点A的坐标为，AB⊥x轴于点B，

∴B（6，0），

∴AB＝，

∵点A的坐标为，AC⊥y轴于点C，

∴C（0，），

∴AC＝6，

∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，

∴∠ABO＝∠ACO＝90°＝∠BOC，

∴四边形OBAC是矩形，

∴∠BAC＝90°，

在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，

∴∠ACB＝60°；

（2）由（1）知，C（0，），

∵点D是AC的中点，

∴D（3，），

设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，

将点A（6，），D（3，），O（0，0）代入抛物线解析式中，得，

∴，

∴抛物线的解析式为，

令y＝0，则，

∴x＝0或x＝9，

∴G（9，0）；

（3）如图，

当点F从点E运动到点O时，点M的运动轨迹是线段MM'，

∴以DM为边的等边三角形的顶点P的轨迹是线段PP'，

当抛物线过原点时，DG与AB的交点记作点M，当抛物线过点E时，DG'与AB的交点为M'，

∵△DMP是等边三角形，

∴DM＝DP，∠MDP＝60°，

∵△DM'P'是等边三角形

∴DM'＝DP'，∠M'DP'＝60°，

∴∠MDM'＝∠PDP'，

∴△MDM'≌△PDP'（SAS），

∴PP'＝MM'，

由（2）知，G（9，0），

∵D（3，），

∴直线DG的解析式，

令x＝6，则y＝，

∴M，

当抛物线过点E时，即抛物线过点A，D，E，

设抛物线的解析式为，

∴，

∴，

∴过点A，D，E的抛物线的解析式为，

令y＝0，则，

∴x＝﹣3或x＝12，

∴G'（12，0），

∴DG'的解析式为，

令x＝6，则y＝，

∴M'（6，），

∴PP'＝MM'＝，

即点P运动的路径的长为．