Question

如图所示，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．

（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；

（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形     BCEF是菱形．

Answer 1

（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌DEF（SAS），

∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF，

∴四边形BCEF是平行四边形．

（2）解：连接BE，交CF与点G，

∵四边形BCEF是平行四边形，

∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，

∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，

∴AC==5，

∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，

∴△ABC∽△BGC，

∴=，即=，∴CG=，

∵FG=CG，

∴FC=2CG=，∴AF=AC﹣FC=5﹣=，

∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．