Question

（2012•鄂州）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（　　）

• A．5?(

  3

  2

  )2010
• B．5?(

  9

  4

  )2010
• C．5?(

  9

  4

  )2012
• D．5?(

  3

  2

  )4022

Answer 1

分析：首先设正方形的面积分别为S₁，S₂…S₂₀₁₂，由题意可求得S₁的值，易证得△BAA₁∽△B₁A₁A₂，利用相似三角形的对应边成比例与三角函数的性质，即可求得S₂的值，继而求得S₃的值，继而可得规律：S_n=5×（

3

2

）^2n-2，则可求得答案．

解答：解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA=1，OD=2，
设正方形的面积分别为S₁，S₂…S₂₀₁₂，
根据题意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x，
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=

OA2+OD2

=

5

，
∴AB=AD=BC=

5

，
∴S₁=5，
∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∴tan∠BAA₁=

A1B

AB

=

OA

OD

=

1

2

，
∴A₁B=

5

2

，
∴A₁C=BC+A₁B=

3 5

2

，
∴S₂=

9

4

×5=5×（

3

2

）²，
∴

A2B1

A1B

=

A1B1

AB

=

3 2 5

5

=

3

2

，
∴A₂B₁=

3

2

×

5

2

=

3 5

4

，
∴A₂C₁=B₁C₁+A₂B₁=

3 5

2

+

3 5

4

=

9

4

5

=

5

×（

3

2

）²，
∴S₃=

81

16

×5=5×（

3

2

）⁴，
由此可得：S_n=5×（

3

2

）^2n-2，
∴S₂₀₁₂=5×（

3

2

）^2×2012-2=5×（

3

2

）⁴⁰²²．
故选D．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，解题的关键是得到规律S_n=5×（

3

2

）^2n-2．