题目内容
如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．
（1）求AB的长；
（2）当t为多少时，△ABD的面积为10cm2？
（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由（可在备用图中画出具体图形）．
（1）求AB的长；
（2）当t为多少时，△ABD的面积为10cm2？
（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由（可在备用图中画出具体图形）．
分析：（1）运用勾股定理直接求出；
（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；
（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．
（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；
（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．
解答：解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴2AB2=BC2，
∴AB=
=4
cm；
（2）过A作AF⊥BC交BC于点F，则AF=
BC=4cm，
∵S△ABD=10cm2
∴AF×BD=20，
∴BD=5cm．
若D在B点右侧，则CD=3cm，t=1.5s；
若D在B点左侧，则CD=13cm，t=6.5s．
（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：（说理过程简要说明即可）
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=8-2t
∴t=8-2t，
∴t=
，
证明：在△ABD和△ACE中
∵
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=2t-8，
∴t=2t-8，
∴t=8，
证明：在△ABD和△ACE中
∵
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴2AB2=BC2，
∴AB=
| BC | ||
|
| 2 |
（2）过A作AF⊥BC交BC于点F，则AF=
| 1 |
| 2 |
∵S△ABD=10cm2
∴AF×BD=20，
∴BD=5cm．
若D在B点右侧，则CD=3cm，t=1.5s；
若D在B点左侧，则CD=13cm，t=6.5s．
（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：（说理过程简要说明即可）
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=8-2t
∴t=8-2t，
∴t=
| 8 |
| 3 |
证明：在△ABD和△ACE中
∵
|
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=2t-8，
∴t=2t-8，
∴t=8，
证明：在△ABD和△ACE中
∵
|
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
点评：本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质及面积，综合性强，题目难度适中．
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