题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+6与x轴、y轴分别交于点B、点C，在x轴的负半轴上有一点A，且tan∠CAB=3
（1）求AC的直线解析式．
（2）点P从A沿射线AC运动，运动速度为每秒 $数学公式$ 个单位，点Q从点C沿CB-BO运动，在CB上运动速度为每秒3 $数学公式$ 个单位、在BO上运动的速度为每秒1个单位，Q运动到O点时，点P也停止运动．设运动时间为t，以P、C、Q三点形成三角形面积为S，求S与t的关系式．
（3）在（2）的条件下是否存在这样的t值，使∠CPQ=∠ACO？如存在求出t值，请写出你的求解过程．

解：（1）由直线y=-x+6，令x=0得OC=y=6，
在Rt△AOC中，tan∠CAB= $\text{[math]}$ =3，解得OA=2，
所以，A（-2，0），又C（0，6），
设AC的直线解析式为y=kx+b，则
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
所以，AC的直线解析式为y=3x+6；

（2）在Rt△AOC和Rt△BOC中，
由勾股定理，得AC=2 $\text{[math]}$ ，BC=6 $\text{[math]}$ ，
①当0≤t＜2时（如图1），作PM⊥AB，QN⊥AB，垂足分别为M、N，
依题意，得AP= $\text{[math]}$ t，
∵PM∥OC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得AM=t，PM=3t，
同理可得BN=QN=6-3t，
S=S_△ABC-S_△APM-S_△BQN-S_梯形MNQP=-6t²+12t；
②当2≤t≤8时（如图2），AQ=2+6+（2-t）=10-t，
S=S_△APQ-S_△ACQ= $\text{[math]}$ （10-t）（3t-6）=- $\text{[math]}$ t²+18t-30；

（3）存在t，使∠CPQ=∠ACO．
①当0≤t＜2时（如图1），设PQ与y轴交于D点，
由（2）可知直线PQ解析式为y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
CD=6- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ （2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t）•2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •6，
解得t=2（舍去），t= $\text{[math]}$ ；
②当2≤t≤8时（如图2），PQ∥OC，AQ=2+6-（2-t）=10-t，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即2 $\text{[math]}$ •（10-t）= $\text{[math]}$ t•2，
解得t=5，
所以，t= $\text{[math]}$ 或5．

分析：（1）由直线y=-x+6可知OC=6，根据tan∠CAB=3，解直角三角形求OA，确定A点坐标，由“两点法”求AC的直线解析式；
（2）由勾股定理可求AC=2 $\text{[math]}$ ，BC=6 $\text{[math]}$ ，点P从A-C需时间为2秒，点Q从C-B需时间为2秒，从B-O需时间6秒，由此将t分为：0≤t＜2（如图1），2≤t≤8（如图2），分别求△CPQ的面积S；
（3）要使∠CPQ=∠ACO，当0≤t＜2时（如图1），设PQ与y轴交于D点，此时DP=CD，D点在线段PC的垂直平分线上，先求直线PQ解析式得出D点坐标，求CD的长，利用三角形相似得出等量关系求t．当2≤t≤8时（如图2），PQ∥OC，利用三角形相似求t．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据运动速度表示线段长，利用割补法表示三角形的面积，利用相似三角形的判定与性质，得出比例求时间t．