题目内容

直线y=x-6与x轴、y轴分别交于点A、B，点E从B点，出发以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动（与B、O点不重合），过E作EF∥AB，交x轴于F．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形DCEF，设点E的运动时间为t秒．
（1）①直线y=x-6与坐标轴交点坐标是A（，），B（，）；
②画出t=2时，四边形ABEF沿EF折叠后的图形（不写画法）；
（2）若CD交y轴于H点，求证：四边形DHEF为平行四边形；并求t为何值时，四边形DHEF为菱形（计算结果不需化简）；
（3）设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数表达式，并求出S的最大值．

解：（1）①∵图象与x轴相交y=0，与y轴相交，x=0，分别求出：
直线y=x-6与坐标轴交点坐标是：A（6，0），B（0，-6）；
②如图1，四边形DCEF即为四边形ABEF沿EF折叠后的图形；

（2）∵四边形DCEF与四边形ABEF关于直线EF对称，
又AB∥EF，
∴CD∥EF．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°．
∵AB∥EF，
∴∠AFE=135°．
∴∠DFE=∠AFE=135°．
∴∠AFD=360°-2×135°=90°，即DF⊥x轴．
∴DF∥EH，
∴四边形DHEF为平行四边形．
要使四边形DHEF为菱形，
只需EF=DF，
∵AB∥EF，∠FAB=∠EBA，
∴FA=EB．

∴DF=FA=EB=t．
又∵OE=OF=6-t，
∴EF= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =t．
∴ $\text{[math]}$ =12-6 $\text{[math]}$ ．
∴当t=12-6 $\text{[math]}$ 时，四边形DHEF为菱形．

（3）分两种情况讨论：
①当0＜t≤3时，
四边形DCEF落在第一象限内的图形是△DFG，
∴S= $\text{[math]}$ ．
∵S= $\text{[math]}$ ，在t＞0时，S随t增大而增大，
∴t=3时，S_最大= $\text{[math]}$ ；
②当3＜t＜6时，
四边形DCEF落在第一象限内的图形是四边形DHOF，
∴S_{四边形DHOF}=S_△DGF-S_△HGO．
∴S= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ．
∵a= $\text{[math]}$ ＜0，
∴S有最大值．
∴当t=4时，S_最大=6．
综上所述，当t=4时，S最大值为6．
分析：（1）利用图象与坐标轴交点求法，与x轴相交y=0，与y轴相交，x=0，分别求出即可；
（2）根据菱形的判定方法求出要使四边形DHEF为菱形，只需EF=DF，利用DF=FA=EB=t，进而求出即可；
（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤3时，四边形DCEF落在第一象限内的图形是△DFG，②当3＜t＜6时，
四边形DCEF落在第一象限内的图形是四边形DHOF，分别求出即可．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及二次函数的最值求法和菱形的判定，熟练利用自变量的取值范围求出是解题关键．