Question

（2013•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，CF交DE于点P．若AC=4

2

，CD=2，则线段CP的长（　　）

• A．1
• B．2
• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：根据ADEF是正方形推出AD=AF，∠DAF=90°，证△ABD≌△ACF，推出CF=BD，求出AD，证△FEP∽△DCP，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：过A作AM⊥BD于M，

∵∠BAC=90°，AB=AC=4

2

，
∴∠B=∥ACB=45°，由勾股定理得：BC=8，
∵CD=2，
∴BD=8-2=6，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AM⊥BC，
∴∠B=∠BAM=45°，
∴BM=AM，
∵AB=4

2

，
∴由勾股定理得：BM=AM=4，
∴DM=6-4=2，
在Rt△AMD中，由勾股定理得：AD=

42+22

=2

5

，
∵四边形ADEF是正方形，
∴EF=DE=AF=AD=2

5

，∠E=90°，
∵ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF=90°-∠DAC．
设CP=x，
∵在△ABD和△ACF中

AB=AC ∠BAD=∠FAC AD=AF

∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD=6，∠B=∠ACB=∠ACF=45°，
∴∠PCD=90°=∠E，
∵∠FPE=∠DPC，
∴△FPE∽△DPC，
∴

FP

DP

=

PE

CP

∴

6-x

x2+22

=

2 5

2

，
x²+3x-4=0，
x=-4（舍去），x=1，
即CP=1，
故选A．

点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，关键是能得出关于x的方程，题目比较好，但是有一定的难度．