Question

【题目】如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝，DC＝5，BC＝6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．

（1）求sin∠BDC的值；

（2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；

（3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）y＝

【解析】

（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．想办法求出BJ，BD即可解决问题．

（2）分两种情形分别求解：①当△ADG∽△BCE时．②当△ADG∽△ECB时，分别利用相似三角形的性质求解即可．

（3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．由题意BQ＝QJ＝y，求出QK，KJ，在Rt△QKJ中，利用勾股定理即可解决问题．

（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．

在Rt△CDK中，∵∠DKC＝90°，CD＝5，cos∠C＝＝，

∴CK＝3，

∵BC＝6，

∴BK＝CK＝3，

∵AD∥BC，∠ABC＝90°，

∴∠A＝90°

∵DK⊥BC，

∴∠A＝∠ABC＝∠DKB＝90°，

∴四边形ABKD是矩形，

∴AD＝BK＝3，

∴DB＝DC＝5，DK＝＝＝4，

∵S△DCB＝BCDK＝CDBJ，

∴BJ＝，

∴DJ＝＝＝，

∵BD＝BE，BJ⊥DE，

∴DJ＝JE＝，

∴EC＝CD﹣DJ＝JE＝5﹣＝，

∴sin∠BDC＝＝＝．

（2）如图2中，

∵AD∥BC，

∴∠ADG＝∠DBC，

∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠C，

∴∠ADG＝∠C，

∵△ADG相似△BEC，

∴有两种情形：当△ADG∽△BCE时，

∴＝，

∴＝，

∴DG＝，

当△ADG∽△ECB时，

＝，

＝，

∴DG＝．

（3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．

由题意：QB＝QJ＝y，BJ＝BD＝5，

∵JB＝JH，JG⊥BH，

∴BG＝GH＝x，

∴JG＝＝，

∵∠GBQ＝∠BGK＝∠QKG＝90°，

∴四边形BGKQ是矩形，

∴BQ＝GK＝y，QK＝GB＝x，

在Rt△QKJ中，

∵JQ2＝QK2+KJ2，

∴y2＝x2+（﹣y）2，

∴y＝．