Question

12．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE=1，BC=2，求劣弧$\widehat{BC}$的长l．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；
（2）连接OD，DC，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC，根据三角函数的定义得到∠ECD=30°，得到∠OCD=60°，得到∠BOC=∠COD=60°，OC=2，于是得到结论．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接OD，DC，
∵∠DAC=$\frac{1}{2}∠$DOC，∠OAC=$\frac{1}{2}∠$BOC，
∴∠DAC=∠OAC，
∵ED=1，DC=2，
∴sin∠ECD=$\frac{DE}{DC}=\frac{1}{2}$，
∴∠ECD=30°，
∴∠OCD=60°，
∵OC=OD，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，
∴l=$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．