Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.

（1）若AC=BC，∠B︰∠C=2︰1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．

（2）若ABBD＝AC，求∠B︰∠C 的比值．

 

Answer 1

（1）（△ABC证明1分，△ABD和△ADC的证明各3分，本小题共7分）

等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC （只写出没有任何证明，1个给1分）

证明：∵AC=BC

∴△ABC是等腰三角形--------------1分

∴∠B=∠BAC--------------2分

∵∠B︰∠C=2︰1

∠B+∠BAC+∠C=180°

∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36°--------------4分

∵∠BAD=∠DAC=∠BAC=36°

∴∠B=∠ADB=72°, ∠DAC=∠C=36°--------------6分

∴△ABD和△ADC是等腰三角形--------------7分

（2）方法1：在AC上截取AE=AB,连接DE-------------1分

又∠BAD=∠DAE，AD＝AD

∴△ABD≌△ADE-------------2分

∴∠AED=∠B ， BD＝DE

∵AB＋BD＝AC

∴BD＝EC

∴DE＝EC -------------4分

∴∠EDC=∠C

∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C

即∠B︰∠C=2︰1--------------5分

 

方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE

证明△ADE≌△ADC

再类似证明得到∠B=2∠AED=2∠C

利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将 AC－AB或AB＋BD转化成一条线段