Question

等腰△ABC中，AB＝AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD．

（1）如图1，若∠BAC＝30°，30°＜m＜180°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC的度数；

（2）如图2，若∠BAC＝60°，0°＜m＜360°，连接BD，DC，直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值___ __；

（3）如图3，若∠BAC＝90°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使，若存在，求出所有符合条件的m的值，若不存在，请说明理由．

 

 

Answer 1

（1）∠DBC=m﹣15°；

（2）m的取值为：30°，120°，210°，300°；

（3）存在2个符合条件的m的值：m=30°或m=330°．

【解析】

试题分析：（1）根据三角形内角和和等腰三角形的性质分别求出∠ABC，∠ABD的度数，相减即可求解；

（2）分四种情况讨论得到△BDC为等腰三角形时m的取值；

（3）分E点在BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解．

试题解析：（1）∠ABC=（180°﹣30°）÷2=75°，

∠ABD=（180°﹣m）÷2=90°﹣m，

∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=75°﹣（90°﹣m）=m﹣15°；

（2）由分析图形可知m的取值为：30°，120°，210°，300°；

（3）存在2个符合条件的m的值：m=30°或m=330°．

如图①：过E作EF⊥AB于F．

在Rt△BEF中，∵∠FBE=45°，

∴BE=EF，

∵AE：BE=；

∴AE=2EF；

又∵∠AFE=90°；

∴∠FAE=30°．即m=30°

在Rt△AEF中，∵∠FAE=30°，

∴AE=2EF，

∴AE：BE=；

如图②：同理可得：AE：BE=．

．

考点：1.等腰三角形的性质2.等腰直角三角形3.旋转的性质．