Question

10．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a²+6a+8，
解：原式=a²+6a+8+1-1=a²+6a+9-1=（a+2）（a-4）
②M=a²-2ab+2b²-2b+2，利用配方法求M的最小值，
解：a²-2ab+2b²-2b+2=a²-2ab+b²+b²-2b+1+1=（a-b）²+（b-1）²+1
∵（a-b）²≥0，（b-1）²≥0
∴当a=b=1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{9}$．
（2）用配方法因式分解：x²-4xy+3y²．
（3）若M=$\frac{1}{4}$x²+2x-1，求M的最小值．
（4）已知x²+2y²+z²-2xy-2y-4z+5=0，则x+y+z的值为4．

Answer 1

分析 （1）加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；
（2）将3y²化成4y²-y²，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）提取系数$\frac{1}{4}$后，再加一次项系数一半的平方16，并减去16，配成完全平方式，利用平方≥0可知M的最小值；
（4）拆项后配成三个完全平方式，利用平方≥0可知：要想使已知式成立则存在$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{y-1=0}\\{z-2=0}\end{array}\right.$，求出x、y、z的值并相加即可．

解答 解：（1）x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{9}$=$（x-\frac{1}{3}）^{2}$，
故答案为：$\frac{1}{9}$；

（2）x²-4xy+3y²=x²-4xy+4y²-y²=（x-2y）²-y²=（x-2y+y）（x-2y-y）=（x-y）（x-3y）；

（3）M=$\frac{1}{4}$x²+2x-1，
M=$\frac{1}{4}$（x²+8x+16-16）-1=$\frac{1}{4}$（x+4）²-5，
∵$\frac{1}{4}$（x+4）²≥0，
∴当x=-4时，M有最小值为-5；

（4）x²+2y²+z²-2xy-2y-4z+5=0，
x²-2xy+y²+y²-2y+1+z²-4z+4=0，
（x-y）²+（y-1）²+（z-2）²=0，
∵x-y≥0，y-1≥0，z-2≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{y-1=0}\\{z-2=0}\end{array}\right.$，
∴x=1，y=1，z=2，
∴x+y+z=1+1+2=4，
故答案为：4．

点评 本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于（4）中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握．