Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D是弧BC的中点，连接AD，交BC于点F．
（1）过点D作DE∥BC，交AC的延长线于点E，判断DE是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=12，AC：AF=3：5，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）DE是⊙O切线，
理由是：连接OD交BC于Q，
∵D为弧BC中点，
∴由垂径定理得：OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O切线．

（2）解：
连接BD，
∵D为弧BC中点，
∴∠CAF=∠DAB，CD=BD=12，
∵AB是直径，
∴∠ACF=∠ADB=90°，
∴△ACF∽△ADB，
∴==，
即cos∠BAD=
sin∠BAD=，
即=，
∵BD=12，
∴AB=15，
即⊙O半径是7.5．
分析：（1）连接OD，根据垂径定理求出OD⊥BC，推出OD⊥DE，根据切线判定推出即可；
（2）连接BD，证△ACF∽△ADB，得出=，推出=，即可求出答案．
点评：本题主要考查了同圆中相等的弧所对的圆周角相等、平行线的判定和性质、切线的判定、直径所对的圆周角等于90°、相似三角形的判定和性质、三角函数值．