Question

已知抛物线y=x²+mx-m²（m＞0）与x轴交干A、B两点。
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧：
（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形，求△ABC的面积。

Answer 1

解：（1）证明：∵m＞0，
∴x=-＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）设抛物线与x轴交点坐标为A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=-m＜0，x₁·x₂=-m²＜0，
∴x₁与x₂异号，
又，
∴OA＞OB，由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x₁＜0，x₂＞0，
∴OA=｜x₁｜=-x₁，OB=x₂代入得：，
即，解得m=2，
∴抛物线的解析式是：y=x²+2x-3；
（3）当x=0时，y=-m²
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-m²）
∵△ABC是直角三角形，AB²=AC²+BC²，
∴（x₁-x₂）²=x₁²+（-m²）²+x₂²+（-m²）²，
∴-2x₁·x₂=m⁴，
∴-2（-m²）=m⁴，解得m=，
∴S_△ABC=·｜AB｜·｜OC｜=｜x₁-x₂｜·｜-m²｜=×2m×m²=。