我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形．凸四边形就是没有角度大于180°的四边形.把四边形的任何一边向两方延长.其他各边都在延长所得直线的同一旁.这样的四边形叫做凸四边形．(1)已知:若四边形ABCD是“等对角四边形 .∠A=70°.∠B=80°．求∠C.∠D的度数．(2)如图1.在Rt△ACB中.∠C=90°.CD为斜边AB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
凸四边形就是没有角度大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．
（1）已知：若四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A=70°，∠B=80°．求∠C、∠D的度数．
（2）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD交AC于点E，请说明：四边形BCED是“等对角四边形”．
（3）如图2，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD平分∠ACB，点E在直线AC上，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段AE的长．

分析（1）根据“等对角四边形”的定义，当四边形ABCD是“等对角四边形”时，可分两种情况进行讨论：①若∠A=∠C，∠B≠∠D，则∠C=70°，再利用四边形内角和定理求出∠D；②若∠B=∠D，∠A≠∠C，则∠D=80°，再利用四边形内角和定理求出∠C；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD=DB=DC，由等边对等角得出∠DCB=∠B，再由∠B+∠ACD=∠DCB+∠ACD=90°，∠CED+∠ACD=90°，利用同角的余角相等得出∠CED=∠B，又∠ECB≠∠EDB，根据“等对角四边形”的定义，即可证明四边形BCED是“等对角四边形”；
（3）根据“等对角四边形”的定义，当四边形CBDE为“等对角四边形”时，可分两种情况进行讨论：①若∠B=∠DEC，∠BCE≠∠BDE，根据AAS证明△CDE≌△CDB，利用全等三角形对应边相等得出EC=BC=3，那么AE=AC-EC=1；②若∠BCE=∠BDE=90°，∠B≠∠DEC，先利用勾股定理求出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，再根据角平分线定理得出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，求出AD=$\frac{4}{7}$AB=$\frac{20}{7}$，再证明△ADE∽△ACB，③如图4，点E在AC的延长线上，∠CDB=∠E，∠DCE≠∠DBE，
连接BE，过C作CH⊥AB于H，DF⊥AC于F，推出△DFC是等腰直角三角形，得到DF=CF，通过△ADF∽△ABC，得到$\frac{AF}{AC}=\frac{DF}{BC}$，求得DF=$\frac{12}{7}$，再根据三角形相似得到$\frac{CE}{DH}$=$\frac{BC}{CH}$，得到CE=$\frac{3}{7}$，④点E在AC的延长线上，如图5，∠CDB≠∠E，∠DCE=∠DBE，连接BE，过E作EH⊥AB交AB的延长线于H，推出△BHE是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{AH}$=$\frac{BC}{EH}$，得到BH=15，根据勾股定理得到CE=$\sqrt{B{E}^{2}-B{C}^{2}}$=21，即可得到结论．

解答（1）解：①当∠A≠∠C时，∵四边形ABCD是“等对角四边形”，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-70°-80°-80°=130°，
②当∠A=∠C=70°时，∠D=360°-∠A-∠B-∠C=360°-70°-80°-70°=140°，
综上：∠C=70°，∠D=140°，或∠C=130°，∠D=80°；

（2）证明：如图1，在Rt△ABC中，
∵CD为斜边AB边上的中线，
∴AD=DB=DC，
∴∠DCB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠B+∠ACD=90°．
∵DE⊥CD，
∴∠CED+∠ACD=90°，
∴∠CED=∠B，
且∠ECB≠∠EDB，
∴四边形BCED是“等对角四边形”；

（3）解：①若∠B=∠DEC，∠BCE≠∠BDE，如图2，
在△CDE与△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠B}\\{∠DCE=∠DCB}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CDB，
∴EC=BC=3，
∴AE=AC-EC=4-3=1；
②若∠BCE=∠BDE=90°，∠B≠∠DEC，如图3，
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵CD平分∠ACB，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴AD=$\frac{4}{7}$AB=$\frac{20}{7}$，
在△ADE与△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠A}\\{∠ADE=∠ACB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{AE}{5}$=$\frac{\frac{20}{7}}{4}$，
∴AE=$\frac{25}{7}$，
③如图4，点E在AC的延长线上，∠CDB=∠E，∠DCE≠∠DBE，
连接BE，过C作CH⊥AB于H，DF⊥AC于F，
∴DF∥BC，
∵CD平分∠ACB，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴DF=CF，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{DF}{BC}$，即$\frac{4-DF}{4}=\frac{DF}{3}$，
∴DF=$\frac{12}{7}$，
∴CD=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
∵CH=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴DH=$\sqrt{C{D}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{12}{35}$，
∵∠CHD=∠BCE=90°，∠CDH=∠E，
∴△CDH∽△BCE，
∴$\frac{CE}{DH}$=$\frac{BC}{CH}$，
∴CE=$\frac{3}{7}$，
∴AE=AC+CE=$\frac{31}{7}$，
④点E在AC的延长线上，如图5，∠CDB≠∠E，∠DCE=∠DBE，
连接BE，过E作EH⊥AB交AB的延长线于H，
∵CD平分∠ABC，
∴∠DCE=∠DBE=135°，
∴∠EBH=45°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴BH=HE，
∵∠A=∠A，∠ACB=∠H=90°，
∴△ABC∽△AEH，
∴$\frac{AC}{AH}$=$\frac{BC}{EH}$，即$\frac{4}{5+BH}$=$\frac{3}{BH}$，
∴BH=15，
∴BE=15$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}-B{C}^{2}}$=21，
∴AE=AC+CE=25；
综上述，线段AE的长为1或$\frac{25}{7}$或$\frac{31}{7}$或25．

点评本题是四边形综合题，主要考查了四边形内角和定理，直角三角形、等腰三角形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，余角的性质，勾股定理，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键．

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