Question

如图，在直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₃C₂、…、A_nB_nC_nC_n-1的顶点A₁、A₂、A₃、…、A_n均在直线y=kx+b上，顶点C₁、C₂、C₃、…、C_n在x轴上，若点B₁的坐标为（1，1），点B₂的坐标为（3，2），那么点A₄的坐标为

 

，点A_n的坐标为

 

．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征,正方形的性质

专题：规律型

分析：首先将A₁的坐标（0，1），A₂的坐标（1，2）代入y=kx+b，求得直线的解析式，再分别求得A₁，A₂，A₃，A₄…的坐标，由此得到一定的规律，据此求出点A_n的坐标．

解答：解：∵B₁的坐标为（1，1），点B₂的坐标为（3，2），
∴正方形A₁B₁C₁O₁边长为1，正方形A₂B₂C₂C₁边长为2，
∴A₁的坐标是（0，1），A₂的坐标是：（1，2），
代入y=kx+b得

b=1   k+b=2

，
解得：

k=1 b=1

．
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A₁B₁=1，点B₂的坐标为（3，2），
∴A₁的纵坐标是：1=2⁰，A₁的横坐标是：0=2⁰-1，
∴A₂的纵坐标是：1+1=2¹，A₂的横坐标是：1=2¹-1，
∴A₃的纵坐标是：2+2=4=2²，A₃的横坐标是：1+2=3=2²-1，
∴A₄的纵坐标是：4+4=8=2³，A₄的横坐标是：1+2+4=7=2³-1，
即点A₄的坐标为（7，8）．
据此可以得到A_n的纵坐标是：2^n-1，横坐标是：2^n-1-1．
即点A_n的坐标为（2^n-1-1，2^n-1）．
故答案为（7，8）；（2^n-1-1，2^n-1）．

点评：此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．