Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于一点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若AD=2

3

，CF=

3

，求⊙O的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OE，由AC是⊙O的切线，得OE⊥AC，再根据题意得OE∥BF，则∠OED=∠F，OD=OE，从而得出∠F=∠BDF，即BD=NF；
（2）设⊙O的半径为r，由OE∥BF，可证明△AOE∽△ABC，则

OE

BC

=

OA

AB

，即可求得r，进而得出⊙O的面积．

解答：（1）证明：连接OE，∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC
又∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠OED=∠F，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
 即BD=BF；             （4分）

（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OE∥BF，
∴△AOE∽△ABC，
∴

OE

BC

=

OA

AB

，

r

2r- 3

=

r+2 3

2r+2 3

，
解得r=2

3

，
∴S_⊙O=π×(2

3

)2=12π．（4分）

点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，本题涉及的知识点：两直线平行，等腰三角形的判定、三角形相似、圆的面积．