Question

若a、b为整数，且x²-x-1是ax¹⁷+bx¹⁶+1的因式，则a的值为

 

．

Answer 1

分析：由x²-x-1是ax¹⁷+bx¹⁶+1的因式，可得当x²-x-1=0时，ax¹⁷+bx¹⁶+1=0，所以可设x₁，x₂是x²-x-1=0的两根，即可得方程组：

a x 17 1 +b x 16 1 +1=0   ① a x 17 2 +b x 16 2 +1=0    ②

，然后可消去b，根据根与系数的关系，即可得a（x₁-x₂）=x₁¹⁶-x₂¹⁶，再利用因式分解的知识，即可求得a的值．

解答：解：∵x²-x-1是ax¹⁷+bx¹⁶+1的因式，
∴当x²-x-1=0时，ax¹⁷+bx¹⁶+1=0，
设x₁，x₂是x²-x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，
∴

a x 17 1 +b x 16 1 +1=0   ① a x 17 2 +b x 16 2 +1=0    ②

，
①×x₂¹⁶-②×x₁¹⁶得：ax₁¹⁷x₂¹⁶+x₂¹⁶-（ax₂¹⁷x₁¹⁶+x₁¹⁶）=0，
∴a（x₁-x₂）=x₁¹⁶-x₂¹⁶，
∴a=（x₁⁸+x₂⁸）（x₁⁴+x₂⁴）（x₁²+x₂²）（x₁+x₂），
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=3，
同理可得：x₁⁴+x₂⁴=9-2=7，x₁⁸+x₂⁸=49-2=47，
∴a=47×7×3×1=987．
故答案为：987．

点评：此题考查了因式定理，一元二次方程根与系数的关系，方程组的解法以及因式分解的知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意方程思想，整体思想与因式分解方法的应用．