Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

3

4

x+6分别交于x轴，y轴于B、A两点，D、E分别是OA、OB的中点，点P从点D出沿DE方向运动，过点P作PQ⊥AB于Q，过点Q作QR∥OA交OB于R，当点Q与B点重合时，点P停止运动．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求PQ的长度；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=0求出y的值得到点A的坐标，令y=0求出x的值得到点B的坐标；
（2）过点D作DF⊥AB于F，根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，再求出AD，然后利用∠OAB的正弦列式求解即可得到DF，再判断出DE∥AB，然后根据平行线间的距离相等可得PQ=DF；
（3）分①PQ=QR时，利用∠ABO的正切值列式求解得到BR，再求出OR，然后写出点R的坐标；②PQ=PR时，根据等腰三角形三线合一的性质利用∠PQR的余弦列式求出QR，再利用∠ABO的正切值列式求解得到BR，再求出OR，然后写出点R的坐标；③PR=QR时，根据等腰三角形三线合一的性质点R在PQ的垂直平分线上，即BE的中点，求出BR，再求出OR，然后写出点R的坐标．

解答：解：（1）令x=0，则y=6，
令y=0，则-

3

4

x+6=0，
解得x=8，
所以，点A（0，6），B（8，0）；

（2）过点D作DF⊥AB于F，
∵A（0，6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=

62+82

=10，
∵D、E分别是OA、OB的中点，
∴AD=

1

2

OA=

1

2

×6=3，DE∥AB，
在Rt△ADF中，DF=AD•sin∠OAB=3×

8

10

=

12

5

，
∵PQ⊥AB，
∴PQ=DF=

12

5

；

（3）①PQ=QR时，BR=QR÷tan∠ABO=

12

5

÷

3

4

=

16

5

，
∴OR=OB-BR=8-

16

5

=

24

5

，
点R的坐标为（

24

5

，0）；
②PQ=PR时，∵PQ⊥AB，
∴∠PQR+∠BQR=90°，
∵QR∥OA，
∴QR⊥OB，
∴∠BQR+∠ABO=90°，
∴∠PQR=∠ABO，
∴QR=2（PQ•cos∠PQR）=2（

12

5

×

8

10

）=

96

25

，
∴BR=QR÷tan∠ABO=

96

25

÷

3

4

=

128

25

，
∴OR=OB-BR=8-

128

25

=

72

25

，
点R的坐标为（

72

25

，0）；
③PR=QR时，点R为PQ的垂直平分线与OB的交点，
∴BR=

1

2

BE=

1

2

×（

1

2

×8）=2，
∴OR=OB-BR=8-2=6，
点R的坐标为（6，0）；
综上所述，点R为（

24

5

，0）或（

72

25

，0）或（6，0）时，△PQR为等腰三角形．

点评：本题是一次函数综合题型，主要考查了直线与坐标轴交点坐标的求解，平行线间的距离相等的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，等腰三角形的性质，难点在于（3）要分情况讨论．