Question

当k=1，2，3，…，2004，2005时，求所有函数y=k（k+1）x²-（2k+1）x+1的图象在x轴上所截得的线段长度的和．

Answer 1

解：设y=k（k+1）x²-（2k+1）x+1与x轴的交点坐标为（x₁，O）、（x₂，O），
∴|x₁-x₂|==，
而k为正整数，
∴|x₁-x₂|==-，
∴当k=1，2，3，…，2004，2005，
所有函数y=k（k+1）x²-（2k+1）x+1的图象在x轴上所截得的线段长度的和
=（1-）+（-）+（-）+…+（-）
=1-
=．
分析：设y=k（k+1）x²-（2k+1）x+1与x轴的交点坐标为（x₁，O）、（x₂，O），根据抛物线与x轴两交点的距离公式得到|x₁-x₂|==，根据k为正整数变形为|x₁-x₂|==-，然后把k=1，2，3，…，2004，2005代入计算即可得到所有线段长度的和．
点评：本题考查了抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴两交点的距离公式：设y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标为（x₁，O）、（x₂，O），则|x₁-x₂|=（b²-4ac＞0）．也考查了分数的运算技巧．