Question

【题目】问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．

（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为　 　．

（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为　 　．

（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）13．

【解析】

试题（1）连结AD，最短为AD==；

（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有＝，可证△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，故AP＋BP＝BP＋PD，从而AP＋BP的最小值为BD；

（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA＋PB＝EP＋PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．

试题解析：（1）连结AD，最短为AD==；

（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有＝，又∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴＝，∴PD＝AP，∴AP＋BP＝BP＋PD，∴AP＋BP的最小值为BD==；

（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，则OA=3，，∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴，∴EP＝2PA，∴2PA＋PB＝EP＋PB，当E、P、B三点共线时，取得最小值，为：=13．