Question

（2012•普陀区二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CB的延长线上，连接DE，交AB于点F，连接DB，∠AFD=∠DBE，且DE²=BE•CE．
（1）求证：∠DBE=∠CDE；
（2）当BD平分∠ABC时，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析：（1）先把等积式：DE²=BE•CE化为比例式

DE

CE

=

BE

DE

，利用两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明△DBE∽△CDE即可证明∠DBE=∠CDE；
（2）有（1）可知：∠DBE=∠CDE，利用角平分线的性质和平行线的判定以及平行四边形的判定方法证明四边形ABCD为平行四边形，再证明AB=AD即可证明：四边形ABCD是菱形．

解答：证明：（1）∵DE²=BE•CE，
∴

DE

CE

=

BE

DE

．    
∵∠E=∠E，
∴△DBE∽△CDE．
∴∠DBE=∠CDE． 

（2）∵∠DBE=∠CDE，
又∵∠DBE=∠AFD，
∴∠CDE=∠AFD．
∴AB∥DC．       
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形 
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠1．       
∵DB平分∠ABC，
∴∠1=∠2．            
∴∠ADB=∠2．
∴AB=AD．        
∴四边形ABCD是菱形．

点评：本题综合性的考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、角平分线的性质、平行线的判定和性质以及平行四边形的判定、性质和菱形的判定方法，题目的综合性不小．