Question

一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

Answer 1

分析：作半径OC⊥AB，连接OA，则CD即为弓形高．根据垂径定理的AD=

1

2

AB，然后根据已知条件求出CD的长；当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P，由此可得OP=0.3，然后根据MN与AB在圆心同侧或异侧时两种情况解答．

解答：解：（1）作半径OC⊥AB，垂足为点D，连接OA，则CD即为弓形高
∵OC⊥AB，
∴AD=

1

2

AB
∵AO=0.5，AB=0.6，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×0.6=0.3，
∴OD=

AO2-AD2

=

0.52-0.32

=0.4，
∴CD=OC-OD=0.5-0.4=0.1米，即此时的水深为0.1米

（2）当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P
同理可得OP=0.3，
当MN与AB在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；
当MN与AB在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米．

点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．