Question

如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．

Answer 1

解：（1）MN=BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE=BM，连接DE，如图所示：
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∵∠MDN=∠NDE=60°，
在△DMN与△DEN中，
，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=EN，又NE=NC+CE，BM=CE，
∴MN=BM+NC；

（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，
利用（1）中的结论得出：BM=CE，MN=EN，
△AMN的周长=AM+MN+AN
=AM+NE+AN=AM+AN+NC+CE=AM+AN+NC+BM
=（AM+BM）+（NC+AN）
=AB+AC=2+2=4．
分析：（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC；
（2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答．