题目内容
【题目】已知二次函数
的图象与
轴交于
、
两点，与
轴交于点
，点的坐标为
，且当
和
时二次函数的函数值相等．
（
）求实数
、
的值．
（
）如图，动点
、
同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿
边向终点运动，点以每秒
个单位长度的速度沿射线
方向运动，当点停止运动时，点随之停止运动．设运动时间为
秒．连接
，将
沿翻折，使点落在点
处，得到
．
①是否存在某一时刻，使得
为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
②设与
重叠部分的面积为
，求关于的函数关系式．
【答案】（1）
，
；（2）①存在，
或
；②当
时， 
；当
时，S
；当
时，
.
【解析】
（1）根据抛物线图象经过点A以及“当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等”两个条件，列出方程组求出待定系数的值．
（2）①首先由抛物线解析式能得到点A、B、C三点的坐标，则线段OA、OB、OC的长可求，进一步能得出AB、BC、AC的长；首先用t 表示出线段AD、AE、AF（即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三种情况讨论：
1、点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；
2、点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；
3、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．
②此题需要分三种情况讨论：
1、当点E在点A与线段AB中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF；
2、当点E在线段AB中点与点O之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；
3、当点E在线段OB上时，重叠部分是个小直角三角形．
（
）由题意得：
，解得：，
．
（
）①由（）知
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
为
，且
，
∵
，
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴翻折后，
落在
处，∴
，
∴
，
，
若
为，点
在
上时，
i）∴若
为直角顶点，则与
重合，
∴
，
，如图
ii）若为直角顶点，∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴，如图
当点在延长线上时，
，为钝角三角形，
综上所述，或．
②i）当时，重叠部分为
，
∴
．
ii）当时，设
与
相交于点
，则重叠部分为四边形
，如图
，
过点作
于
，设
，则
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
iii）当时，重叠部分为
，如图
，
∵
，
，
∴
．
