题目内容

如图，在同一个平面直角坐标系中，双曲线y= $数学公式$ 与直线y=kx+b相交于A（-3，1）、B两点，点B的横坐标为2，直线AB分别交x轴、y轴于D、C两点．
（1）求这两个函数的关系式，并在平面直角坐标系中画出简图；
（2）求 $数学公式$ 的值．

解：（1）把A（-3，1）代入y= $\text{[math]}$ 得m=-3×1=-3

所以双曲线的解析式为y=- $\text{[math]}$ ；
当x=2时，y=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，则B点坐标为（2，- $\text{[math]}$ ），
把A（-3，1）、B（2，- $\text{[math]}$ ）代入y=kx+b得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
所以直线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；
如图，
　
（2）直线y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ 与y轴的交点C的坐标为（0，- $\text{[math]}$ ），
∵∠ADE=∠ODC，
∴Rt△AED∽Rt△COD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
而AE=1，OC= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先把A（-3，1）代入y= $\text{[math]}$ 得到m=-3，从而确定双曲线的解析式，再把点B的横坐标2代入双曲线的解析式求出纵坐标，确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式，最后画图；
（2）先确定直线y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ 与y轴的交点C的坐标为（0，- $\text{[math]}$ ），易得Rt△AED∽Rt△COD，然后利用相似比 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 进行计算即可．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及相似三角形的判定与性质．