Question

【题目】如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，连接交于点，将绕点逆时针旋转，点的运动轨迹交于点，若，有以下四个结论：①；②；③；④阴影部分的面积为.其中一定成立的是______.（把所有正确结论的序号填在横线上）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根据四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，得到AB=CE，∠B=∠E=90°，BC=EF，即可得到△ABC≌△CEF，根据全等的性质得到∠ACB=∠CFE，AC=CF，可得同理可证△ABC≌△FGC (SAS) ,可判别②错误，利用平行线段成比例可得，可求出MD的长，即可得出，进行判断③

；利用可计算出阴影部分面积，进行判断④

证明: (1)∵四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，

∴AB= CE,∠B=∠E= 90°BC= EF

在△ABC和△CEF中,

∴△ABC≌△CEF(SAS) ,

∴∠ACB=∠CFE，AC= CF

∴

故①正确，

∵四边形ABCD，EF GC为全等的矩形，

∴AB= GF,∠B=∠CGF= 90°BC= CG

在△ABC和△FGC中,

∴△ABC≌△FGC (SAS) ,

故②错误，

∵GF//AD

∴

∵CG=4,CD=2

∴GD=2

∴

在Rt△ADM中

故③正确；

∵四边形ABCD是矩形,

∴AD=BC=4,CD=AB=2，∠BCD=∠ADC=90°,

∴CH=BC=4，CH=2CD.

∴∠DHC=30°,

∴∠DCH=60°.

由勾股定理得DE=

∴

故④正确

故答案为：①③④